Tarea 6. Diferenciación e integración numérica.

Ejercicio 1.

Para cada una de las siguientes funciones realiza la respectiva gráfica en el intervalo dado. Compara las gráficas de las derivadas aproximadas (con dos tamaños de paso \(h\neq 0\) y \(h=0\)) y la derivada exacta en tal intervalo. Realiza la gráfica del error de la derivada cuando \(h=0\).

graf1 <- function(f,i,d){
  graf_f <- ggplot()+
    geom_function(fun=f,xlim=c(i-.1,d+.1),color="dodgerblue",linewidth=.8)+
    theme_bw()
  graf_f
}

graf2<-function(f,i,d,df){
  x <<- seq(i,d,length.out=100)
  
  df_h05 <<- fderiv(f,x,n=1,h=0.5,method=c("central"))
  df_h01 <<- fderiv(f,x,n=1,h=0.1,method=c("central"))
  df_h0 <<- fderiv(f,x,n=1,h=0,method=c("central"))
  
  graf_df <- ggplot()+
      geom_function(fun=df,xlim=c(i,d),color="firebrick",linewidth=1.2)+
    geom_line(aes(x,df_h05),color="tomato2",linetype="dashed")+
    geom_line(aes(x,df_h01),color="gold",linetype="dashed")+
    geom_line(aes(x,df_h0),color="green",linetype="dashed")+
    labs(y="Derivadas")+
      theme_bw()
  ggplotly(graf_df)
}

graf3<-function(f){
  error_derivada <- abs(df(x)-df_h0)
  graf_error <- ggplot()+
    geom_point(aes(x,error_derivada),color="deeppink",alpha=0.5)+
    theme_bw()
  graf_error
}

1. \(f(x)=e^{2x}-cos (2x)\), \(x\in [0,2]\)

f <- function(x){exp(2*x)-cos(2*x)}
df<-function(x) {2*exp(2*x) + 2*sin(2*x)}
i=0
d=2
graf1(f,i,d)

graf2(f,i,d,df)

graf3(f)

2. \(f(x)=log(x+2)-(x+1)^2\), \(x\in [0,5]\)

f <- function(x){log(x+2)-(x+1)^2}
df <- function(x) 1/(x+2) - 2*(x+1)
graf1(f,0,5)

graf2(f,0,5,df)

graf3(f)

3. \(f(x)=x\, sen\,x+x^2cos\,x\), \(x\in [0,\pi]\)

f <- function(x){x*sin(x)+x^2*cos(x)}
df <- function(x) sin(x) + x*cos(x) + 2*x*cos(x) - x^2*sin(x)
i=0
d=pi
graf1(f,i,d)

graf2(f,i,d,df)

graf3(f)

4. \(f(x)=(cos\,3x)^2-e^{2x}\), \(x\in [0,\pi/2]\)

f <- function(x){(cos(3*x))^2-exp(2*x)}
df <- function(x) -6*cos(3*x)*sin(3*x) - 2*exp(2*x)
i=0
d=pi/2
graf1(f,i,d)

graf2(f,i,d,df)

graf3(f)

error_derivada <- abs(df(x)-df_h0)
graf_error <- ggplot()+
  geom_line(aes(x,error_derivada),color="deeppink")+
  theme_bw()
graf_error

5. \(f(x)=x\,cos\,x-x^2sen\,x\), \(x\in [0, 2\pi]\)

f <- function(x){x*cos(x)-x^2*sin(x)}
df <- function(x) cos(x) - x*sin(x) - 2*x*sin(x) - x^2*cos(x)
i=0
d=2*pi
graf1(f,i,d)

graf2(f,i,d,df)

graf3(f)

6. \(f(x)=2(log\,x)^2+3\,sen\,x\), \(x\in[1,5]\)

f <- function(x){2*log(x)^2+3*sin(x)}
df <- function(x) 4*log(x)/x + 3*cos(x)
i=1
d=5
graf1(f,i,d)

graf2(f,i,d,df)

graf3(f)

Ejercicio 2

Da el valor aproximado (por medio de las funciones integral y cotes, del package pracma) y exacto (en caso de ser posible) de las siguientes integrales (realiza la respectiva gráfica).

\[\begin{equation} \int_{0.5}^1 x^4 dx \end{equation}\]

f<-function(x){x^4}
x<-seq(.5,1,length.out=100)
graf_f <- ggplot()+
    geom_function(fun=f,xlim=c(.5,1),color="dodgerblue",linewidth=.8)+
    geom_area(aes(x,f(x)),fill="gold4",alpha=0.5)+
    theme_bw()
  graf_f

\[\begin{equation} \int_{0}^{0.5} \frac{2}{x-4} dx \end{equation}\]

\[\begin{equation} \int_{1}^{1.5} x^2\, log(x) dx \end{equation}\]

\[\begin{equation} \int_{0}^{1} x^2 e^{-x}\,dx \end{equation}\]

\[\begin{equation} \int_{1}^{1.6} \frac{2x}{x^2-4} dx \end{equation}\]

\[\begin{equation} \int_{0}^{\pi/4} e^{3x}sin(2x) dx \end{equation}\]

\[\begin{equation} \int_{0}^{\pi/2} ((sen\,x)^2-2x\,sen\,x+1) dx \end{equation}\]